[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量．向量a 3满足Aα3=α2+α3．(1)证明α1，α2，α3线性无关；(2)令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．

admin2019-05-10 625

问题 [2008年] 设A为三阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值一1，1的特征向量．向量a 3满足Aα₃=α₂+α₃．(1)证明α₁，α₂，α₃线性无关；(2)令P=[α₁，α₂，α₃]，求P^-1AP．

选项

答案(1)用反证法产生与α₁，α₂线性无关的矛盾证之．(2)注意到Aα₁，Aα₂，Aα₃可写成α₁，α₂，α₃的线性组合．由命题2．1．2．3知，可将矩阵[Aα₁，Aα₂，Aα₃]改写成矩阵[α₁，α₂，α₃]与另一数字矩阵的乘积，利用前者的可逆性即可求得P^-1AP． (1)用反证法证明．如果α₁，α₂，α₃线性相关，因α₁，α₂属于A的不同特征值的特征向量，故线性无关．于是α₃可由α₁，α₂线性表出．设α₃=l₁α₁+l₂α₂，则 Aα₃=α₂+α₃=α₂+l₁α₁+l₂α₂=(1+l₂)α₂+l₁α₁．又 Aα₃=A(l₁α₁+l₂α₂)=l₁Aα₁+l₂Aα₂=一l₁α₁+l₂α₂，故 l₁α₁+(1+l₂)α₂=一l₁α₁+l₂α₂，即 2l₁α₁+α₂=0，所以α₁，α₂线性相关，与题设α₁，α₂线性无关，矛盾．于是α₁，α₂，α₃线性无关． (2)因Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂，Aα₃=α₂+α₃，故Aα₁，Aα₂，Aα₃为α₁，α₂，α₃的线性组合，由命题2．1．2．3得到 A=[α₁，α₂，α₃]=[Aα₁，Aα₂，Aα₃]=[一α₁，α₂，α₃+α₃]=[α₁，α₂，α₃][*] 即AP=P[*]，又由(1)知，P可逆，故P^-1AP=[*].

解析

转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/pWLRFFFM

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量．向量a 3满足Aα3=α2+α3．(1)证明α1，α2，α3线性无关；(2)令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．

考研数学二

证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性．

证明：用二重积分证明

设α，β是n维非零列向量，A＝αβT＋βαT．证明：r(A)≤2．

设A是m×n阶矩阵，若ATA＝O，证明：A＝O．

证明：若矩阵A可逆，则其逆矩阵必然唯一．

设n阶矩阵A满足A2＋A＝3E，则(A－3E)-1＝_______．

设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得＝ξf′(ξ)．

设A＝，若齐次方程组AX＝0的任一非零解均可用α线性表示，则a＝()．

设α1，α2，…，αs为AX＝0的一个基础解系，β不是AX＝0的解，证明：β，β＋α1，β＋α2，…，β＋αs线性无关．

有关造影检查的说法错误的为

患者，男，41岁，3小时前饮酒后出现上腹部绞痛，向肩背部放射，送到医院急诊，怀疑为急性胰腺炎，此时最具诊断意义的实验室检查为

男孩，3岁。右侧阴囊内肿块，光滑、有波动感，右侧睾丸未触及。卧位时肿块不消失。首先考虑的诊断是

当粗集料最大粒径大于60mm时，不能采用回弹法测强。()

对冲击性负荷供电需要降低冲击性负荷引起的电网电压波动和电网闪变时，宜采取下列哪些措施?()

某家庭投保了家庭财产保险，保险金额为100万元，约定的免赔额是1000元，保险事故发生后总计造成的损失为50万元，若按绝对免赔额保险公司应赔偿(　　)。

以下关于我国科技史，不正确的是()。

Whatoncewasconsidered"pieinthesky"isslowlybecominglaw.InNewYork,statelegislatorsjustagreedtoraisethestate

[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量．向量a 3满足Aα3=α2+α3．(1)证明α1，α2，α3线性无关；(2)令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．

考研数学二

证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性．

证明：用二重积分证明

设α，β是n维非零列向量，A＝αβT＋βαT．证明：r(A)≤2．

设A是m×n阶矩阵，若ATA＝O，证明：A＝O．

证明：若矩阵A可逆，则其逆矩阵必然唯一．

设n阶矩阵A满足A2＋A＝3E，则(A－3E)-1＝_______．

设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得＝ξf′(ξ)．

设A＝，若齐次方程组AX＝0的任一非零解均可用α线性表示，则a＝()．

设α1，α2，…，αs为AX＝0的一个基础解系，β不是AX＝0的解，证明：β，β＋α1，β＋α2，…，β＋αs线性无关．

有关造影检查的说法错误的为

患者，男，41岁，3小时前饮酒后出现上腹部绞痛，向肩背部放射，送到医院急诊，怀疑为急性胰腺炎，此时最具诊断意义的实验室检查为

男孩，3岁。右侧阴囊内肿块，光滑、有波动感，右侧睾丸未触及。卧位时肿块不消失。首先考虑的诊断是

当粗集料最大粒径大于60mm时，不能采用回弹法测强。()

对冲击性负荷供电需要降低冲击性负荷引起的电网电压波动和电网闪变时，宜采取下列哪些措施?()

某家庭投保了家庭财产保险，保险金额为100万元，约定的免赔额是1000元，保险事故发生后总计造成的损失为50万元，若按绝对免赔额保险公司应赔偿( )。

以下关于我国科技史，不正确的是()。

Whatoncewasconsidered"pieinthesky"isslowlybecominglaw.InNewYork,statelegislatorsjustagreedtoraisethestate

某家庭投保了家庭财产保险，保险金额为100万元，约定的免赔额是1000元，保险事故发生后总计造成的损失为50万元，若按绝对免赔额保险公司应赔偿(　　)。