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  3. 设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。证明xn存在，并求该极限。

设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。证明xn存在，并求该极限。

admin2018-05-25  26
问题 设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。证明xn存在，并求该极限。
选项
答案当n=1时，0＜x1＜π； 当n=2时，0＜x2=sinx1≤1＜π； 假设当n=k时，0＜xk＜π成立，则当n=k+1时，0＜xk+1=sinxk≤1＜π； 由数学归纳法可知，对任意的n∈N+，0＜xn＜π，即数列{xn}有界。 又因为当x＞0时，sinx＜x，所以[*]＜1，即数列{xn}单调递减。 根据单调有界准则可知[*]xn=a，在等式xn+1=sinxn两端同时取极限可得，a=sina，所以a=0，即[*]xn=0。
解析
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考研数学一

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