2. 考研
  3. 设A、B均为N阶实对称矩阵，且A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，其中a，b均为实常数，证明：矩阵A+B的特征值全大于a+b．

设A、B均为N阶实对称矩阵，且A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，其中a，b均为实常数，证明：矩阵A+B的特征值全大于a+b．

admin2022-03-20  0
问题 设A、B均为N阶实对称矩阵，且A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，其中a，b均为实常数，证明：矩阵A+B的特征值全大于a+b．
选项
答案设λ为A+B的任一特征值，则有x≠0，使(A+B)x=λx．由此可得 [(A－aE)+(B－bE)]x=[λ－(a+6)]x， 即λ－(a+b)为实对称矩阵(A－aE)+(B－bE)的特征值． 设μ为A－aE的任一特征值，则有y≠0，使 (A—aE)y=μy， 即 Ay=(μ+a)y， 故μ+a为A的特征值，由题设条件，有μ+a＞a，故μ＞0，即A－aE的任一特征值都大于零，故实对称矩阵A－aE为正定矩阵．同理可证实对称矩阵B－bE为正定矩阵，由于同阶正定矩阵之和为正定矩阵，故矩阵 (A－aE)+(B－bE)为正定矩阵，因而它的特征值全大于零，从而有 λ－(a+b)＞0， 于是得A+B的任一特征值λ都大于a+b．
解析
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考研数学一

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