设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则( )

admin2020-04-30 7

问题设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α₁，α₂，…，α_m-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α₁，α₂，…，α_m-1，β，则( )

选项 A、α_m不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示
B、α_m不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示
C、α_m可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示
D、α_m可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示

答案B

解析本题考查向量组的线性表示的概念．
若向量α_m可由(Ⅰ)线性表示，则β可由(Ⅰ)线性表示，与题设矛盾，故α_m不能由(Ⅰ)线性表示，排除选项C与D．
又向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表示，故存在数k₁，k₂，…，k_m，使得
k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=β，
而β不能由α₁，α₂，…，α_m-1线性表示，所以k_m≠0，从而

即α_m可由(Ⅱ)线性表示．故选项(B)正确．
注：本题解题的关键是β可由α₁，α₂，…，α_m线性表示，但不能由前m-1个向量α₁，α₂，…，α_m-1线性表示，可知k_m≠0，于是可得α_m能由α₁，α₂，…，α_m-1，β线性表示．

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