A是3阶矩阵，有特征值λ1＝λ2＝2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，λ3＝－2对应的特征向量是ξ3．证明：任意3维非零向量β都是A2的特征向量，并求对应的特征值．

admin2018-07-26 868

问题 A是3阶矩阵，有特征值λ₁＝λ₂＝2，对应两个线性无关的特征向量为ξ₁，ξ₂，λ₃＝－2对应的特征向量是ξ₃．
证明：任意3维非零向量β都是A²的特征向量，并求对应的特征值．

选项

答案因A有特征值λ₁＝λ₂＝2，λ₃＝一2，故A²有特征值μ₁＝μ₂＝μ₃＝4．对应的特征向量仍是ξ₁，ξ₂，ξ₃，且ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关．故存在可逆矩阵P＝(ξ₁，ξ₂，ξ₃)，使得 P^－1A²P＝4E，A²＝P(4E)P^－1＝4E，从而对任意的β≠0，有A²β＝4Eβ＝4β，故知任意非零向量β都是A²的对应于λ＝4的特征向量

解析

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考研数学一

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A是3阶矩阵，有特征值λ1＝λ2＝2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，λ3＝－2对应的特征向量是ξ3．证明：任意3维非零向量β都是A2的特征向量，并求对应的特征值．

考研数学一

(x2+xy—x)dxay=__________，其中D由直线y=x，y=2x及x=1围成．

设f(x)在x=a处二阶可导，证明：=f"(a)．

设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在，证明：(1)存在ξ∈(1，2)，使得。(2)存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt=ξ(ξ一1)f’(η)ln2．

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设A，B为同阶方阵。(Ⅰ)若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等；(Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立；(Ⅲ)当A，B均为实对称矩阵时，证明(Ⅰ)的逆命题成立。

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