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  3. 设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=-1，已知曲线积分∫L[xe2x-6f(x)]sinydx-[5f(x)-f’(x)]cosydy与路径无关，则f(x)=_____．

设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=-1，已知曲线积分∫L[xe2x-6f(x)]sinydx-[5f(x)-f’(x)]cosydy与路径无关，则f(x)=_____．

admin2017-10-25  24
问题 设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=-1，已知曲线积分∫L[xe2x-6f(x)]sinydx-[5f(x)-f’(x)]cosydy与路径无关，则f(x)=_____．
选项
答案[*]x(x+2)e2x
解析 曲线积分与路径无关，故有
{[f’(x)-5f(x)]cosy}={xe2x-6f(x)]siny}，
即[f’’(x)-5f’(x)]cosy=[xe2x-6f(x)]cosy，
消去cosy，整理得f’’-5f’+6f=xe2x，
对应齐次方程的特征方程为r2-5r+6=(r-2)(r-3)=0，
对应齐次方程的通解为Y=C1e2x+C2e3x，
由于λ=2是特征根，故设f=x(Ax+B)e2x，代入方程可求出A=，B=-1，于是方程的通解为
f(x)=C1e2x+C2e3x-x(x+2)e2x，
再由f(0)=0及f’(0)=-1，可求出C1=C2=0，
因而所求函数为f(x)=x(x+2)e2x．
故应填x(x+2)e2x．
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