设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，X1、X2分别为属于λ1、λ2的特征向量．证明：X1+X2不是A的特征向量．

admin2018-08-03 22

问题设λ₁，λ₂是n阶方阵A的两个不同特征值，X₁、X₂分别为属于λ₁、λ₂的特征向量．证明：X₁+X₂不是A的特征向量．

选项

答案可用反证法：若X₁+X₂是A的属于特征值λ₀的特征向量，则有A(X₁+X₂)=λ₀(X₁+X₂)．得AX₁+AX₂=λ₀(X₁+X₂)，→λ₁X₁+λ₂X₂=λ₀X₁+λ₀X₂，→(λ₁—λ₀)X₁+(λ₂一λ₀)X₂=0，因为X₁与X₂线性无关，→λ₁—λ₀=0，λ₂一λ₀=0，→λ₁=λ₀=λ₂，这与λ₁≠λ₂矛盾．

解析

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考研数学一

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