设α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一1，2，0)，α5=(2，1，5，6)。 (1)证明α1，α2线性无关； (2)把α1，α2扩充成一极大线性无关组。

admin2018-05-10 4

问题设α₁=(1，一1，2，4)，α₂=(0，3，1，2)，α₃=(3，0，7，14)，α₄=(1，一1，2，0)，α₅=(2，1，5，6)。
(1)证明α₁，α₂线性无关；
(2)把α₁，α₂扩充成一极大线性无关组。

选项

答案(1)由于α₁，α₂的对应坐标分量不成比例，因而α₁，α₂线性无关。 (2)因为α₃=3α₁+α₂，且由 k₁α₁+k₂α₂+k₄α₄=0，可解得 k₁=k₂=k₄=0，所以α₁，α₂，α₄线性无关。再令 k₁α₁+k₂α₂+k₄α₄+k₅α₅=0，代入向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0，因为该齐次线性方程组存在非零解，即α₁，α₂，α₄，α₅线性相关，所以α₅可以由α₁，α₂，α₄线性表出。所以α₁，α₂，α₄就是原向量组的一个极大线性无关组。

解析

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