[2008年]设n元线性方程组AX=b，其中当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．

admin2019-04-08 32

问题 [2008年]设n元线性方程组AX=b，其中

当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．

选项

答案当(n+1)aⁿ=0即a=0时，此时增广矩阵[*]和系数矩阵的秩均为n一1＜n，故方程组有无穷多组解，且 [*] 可见[*]是含最高阶单位矩阵的矩阵．因n一秩（A）=1，故对应的齐次方程组的基础解系只含一个解向量．由基础解系和特解的简便求法，基础解系和特解分别为 α=[1，0，0，…，0]^T，η=[0，1，0，…，0]^T，故AX=b的通解为X=kα+η，k为任意常数．

解析

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考研数学一

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设线性方程组与方程x1+2x2+x3=a－1有公共解，求a的值及所有公共解。
已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A2x=3Ax－2A2x。(Ⅰ)记P=(x，Ax，A2x)，求三阶矩阵B，使A=PBP－1；(Ⅱ)计算行列式｜A+E｜。
设矩阵α1，α2，α3为线性无关的3维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为______。
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若向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，试问α4能否由α1，α2，α3线性表出?并说明理由．
设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2β2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系．
设，α1，α2，α3，α4为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解，其中
设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r()=r＜n．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n－r+1个．

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