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  3. 已知A是三阶矩阵，αi(i=1，2，3)是三维非零列向量，令α=α1+α2+α3。若Aαi=iαi(i=1，2，3)，证明：α，Aα，A2α线性无关。

已知A是三阶矩阵，αi(i=1，2，3)是三维非零列向量，令α=α1+α2+α3。若Aαi=iαi(i=1，2，3)，证明：α，Aα，A2α线性无关。

admin2017-08-28  35
问题 已知A是三阶矩阵，αi(i=1，2，3)是三维非零列向量，令α=α1+α2+α3。若Aαi=iαi(i=1，2，3)，证明：α，Aα，A2α线性无关。
选项
答案由Aαi=iαi(i=1，2，3)，且αj(i=1，2，3)非零可知，α1，α2，α3是矩阵A的属于不同特征值的特征向量，故α1，α2，α3线性无关。又 Aα=α1+2α2+3α3，A2α=α1+4α2+9α3， 所以 (α，Aα，A2α)=(α1，α2，α3)[*]=(α1，α2，α3)P， 而矩阵P是范德蒙德行列式，故｜P｜=2≠0，所以α，Aα，A2α线性无关。
解析
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考研数学一

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