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  3. 设f(x)在[0，a]二次可导且f(0)＝0，f’’(x)＜0．求证：在(0，a]单调下降．

设f(x)在[0，a]二次可导且f(0)＝0，f’’(x)＜0．求证：在(0，a]单调下降．

admin2017-08-18  14
问题 设f(x)在[0，a]二次可导且f(0)＝0，f’’(x)＜0．求证：在(0，a]单调下降．
选项
答案【证法一】 对F(x)求导得F’(x)＝xf’’(x)＜0 ([*]x∈(0，a])． 又F(0)＝0，则F(x)＜0([*]x∈(0，a])，即xf’(x)一f(x)＜0(0＜x≤a)． 【证法二】 f’’(x)＜0意味着f(x)是凸函数，从而曲线在任一点切线的下方，即[*]t∈[0，a]有 f(t)＜f(x)＋f’(x)(t—x) ([*]x∈[0，a]，x≠t)．特别地，令t＝0时，f(0)＝0＜f(x)一f’(x)x， 即xf’(x)一f(x)＜0 (x∈(0，a])． 【证法三】 由微分中值定理，[*]x∈(0，a]，[*]ξ∈(0，x)使得 xf’(x)一f(x)＝xf’(x)一[f(x)一f(0)]＝xf’(x)一xf’(ξ) ＝x[f’(x)一f’(ξ)]＜0(因为f’(x)单调减少)． 【证法四】 由泰勒公式，[*]x∈(0，a]，[*]ξ∈(0，x)，有 0＝f(0)＝f(x)＋f’(x)(一x)＋[*]f’’(ξ)(一x)2． 由f’’(ξ)＜0[*]f(x)一xf’(x)＞0，即xf’(x)一f(x)＜0 ([*]x∈(0，a])．
解析 要证在(0，a]单调下降，只需证明导数．为此令
F(x)＝xf’(x)一f(x)，则只需证F(x)＜0(x∈(0，a])．
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考研数学一

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