设f(x)=∫0x(t－1)3dt，讨论f(x)的单调性及相应曲线的凹凸性与拐点、极值．

admin2019-06-30 20

问题设f(x)=∫₀^x(t－1)³dt，讨论f(x)的单调性及相应曲线的凹凸性与拐点、极值．

选项

答案因为f(x)为变上限积分函数，定义域为(－∞，+∞)，所以 f’(x)=(x－1)³，f"(x)=3(x－1)²，令f’(x)=0，得f(x)的唯一驻点x=1．故当x≠1时，f"(x)＞0，可知曲线y=f(x)无拐点，且它在(－∞，+∞)内为凹的．当x＜1时，f’(x)＜0，则f(x)在(－∞，1)内单调减少；当x＞1时，f’(x)＞0，则f(x)在(1，+∞)内单调增加．因此点x=1为函数f(x)的极小值点． f(1)=∫₀¹(t－1)³dt=[*](t－1)⁴|₀¹=－1／4，可知函数f(x)的极小值为－1／4．

解析

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