设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr …… βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2

admin2018-07-31 24

问题设向量组α₁，…，α_r线性无关，又
β₁=a₁₁α₁+a₂₁α₂+…+a_r1α_r
β₂=a₁₂α₁+a₂₂α₂+…+a_r2α_r
……
β_r=a_1rα₁+a_2rα₂+…+a_rrα_r
记矩阵A=(a_ij)_r×r，证明：β₁，β₂，…，β_r线性无关的充分必要条件是A的行列式｜A｜≠0．

选项

答案不妨设α_j及β_j均为n维列向量(j=1，2，…，r)，则题设线性表示式可写成矩阵形式 [β₁ β₂ … β_r]=[α₁ α₂ … α_r]A 或 B=PA，…(*) 其中B=[β₁ β₂ … β_r]及P=[α₁ α₂ … α_r]均为n×r矩阵，且矩阵P的列向量组线性无关．于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解；若X满足Ax=0，两端左乘P并利用PA=B，得Bx=0；若x满足Bx=0，即PAx=0，或P(Ax)=0，因P的列向量组线性无关，得Ax=0，所以，Ax=0与Bx=0同解，→它们的基础解系所含向量个数相等，即r—r(A)=r—r(B)，→r(A)=r(B)．所以，向量组β₁，…，β_r线性无关→r[β₁ β₂ … β_r]=r→r(A)=r→｜A｜≠0．

解析

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设向量组α1，…，αr线性无关，又 β1=a11α1+a21α2+…+ar1αr β2=a12α1+a22α2+…+ar2αr …… βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr 记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2

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设α1，α2，α3为四维列向量组，α1，α2线性无关，α3=3α1+2α2，A=(α1，α2，α3)，求AX=0的一个基础解系．

设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为()

设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，PTAP为正定矩阵．

设A=，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

设A=(1)求常数a，b，c；(2)判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．若不可对角化，说明理由．

设α，β是n维非零列向量，A=αβT+βαT．证明：r(A)≤2．

若α1，α2，α3是三维线性无关的列向量，A是三阶方阵，且Aα1=α1+α2，Aα2=α2+α3，Aα3=α3+α1，则｜A｜=___________．

设n阶方阵A的每行元素之和为a，｜A｜≠0，则(1)a≠0；(2)A－1的每行元素之和为a－1．

A．体液传播B．吸血节肢动物传播C．消化道传播D．呼吸道传播E．土壤传播乙型肝炎的传播途径是

依据《废弃危险化学品污染环境防治办法》，废弃危险化学品包括()。

依据《使用有毒物品作业场所劳动保护条例》，存在高毒作业的建设项目的职业中毒危害防护设施设计，应当经（）进行卫生审查；符合国家职业卫生标准和卫生要求的，方可施工。

业主希望进一步就合同内容与投标者进行谈判的原因往往是(　　)。

套汇交易

刊物出版合同纳税人为立合同人，属加工承揽合同，按合同金额的0．5‰计征印花税。()

下列说法中，体现了“合作”这一职业道德规范要求的是()。

如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a等于()。

Asadevelopingcountry,wemustkeep______withtherapiddevelopmentoftheworldeconomy.

HydroelectricPowerHydroelectricpowerisAmerica’sleadingrenewableenergyresource.Ofalltherenewablepowersources,i

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设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，PTAP为正定矩阵．

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设n阶方阵A的每行元素之和为a，｜A｜≠0，则(1)a≠0；(2)A－1的每行元素之和为a－1．

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依据《使用有毒物品作业场所劳动保护条例》，存在高毒作业的建设项目的职业中毒危害防护设施设计，应当经（）进行卫生审查；符合国家职业卫生标准和卫生要求的，方可施工。

业主希望进一步就合同内容与投标者进行谈判的原因往往是( )。

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下列说法中，体现了“合作”这一职业道德规范要求的是()。

如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a等于()。

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业主希望进一步就合同内容与投标者进行谈判的原因往往是(　　)。