2. 考研
  3. 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。(注：m表

有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。(注：m表

admin2019-06-09  29
问题 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分。)

求曲线x=φ(y)的方程。
选项
答案液面的高度为y时，液体的体积为 π∫0yφ2(u)du=3t=3φ2(y)－12。 上式两边对y求导，得 πφ2(y)=6φ(y)φ’(y)， 即πφ(y)=6φ’(y)， 解此微分方程，得 φ(y)=Ceπ／6y，其中C为任意常数， 由φ(0)=2知C=2，故所求曲线方程为x=2eπ／6y。
解析
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考研数学二

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