2. 考研
  3. 设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,.证明： 存在η∈（a,b)，使得f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0.

设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,.证明： 存在η∈（a,b)，使得f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0.

admin2019-09-23  25
问题 设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,.证明：
存在η∈（a,b)，使得f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0.
选项
答案令g(x)=e-xf(x),g(a)=g(c)=g(b)=0,由罗尔定理，存在η1∈(a,c),η2∈(c,b),使得g’(η1)=g’(η2)=0,而g’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]且e-x≠0,所以f’(η1)-f(η1)=0,f’(η2)-f(η2)=0,令Φ（x)=e-2x[f’(x)-f(x)],Φ(η1)=Φ(η2)=0,由罗尔定理，存在η∈（η1，η2）[*](a,b),使得Φ’(η)=0,而Φ’(x)=e-2x[f"(x)-3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0,所以f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0.
解析
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考研数学二

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