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  3. 已知η是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r，是对应齐次方程组Ax=0的基础解系，证明： η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn－r是Ax=b的n－r+1个线性无关解；

已知η是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r，是对应齐次方程组Ax=0的基础解系，证明： η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn－r是Ax=b的n－r+1个线性无关解；

admin2016-04-29  68
问题 已知η是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r，是对应齐次方程组Ax=0的基础解系，证明：
η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn－r是Ax=b的n－r+1个线性无关解；
选项
答案Aη=b，A(η+ξi)=Aη=b，i=1，2，…，n－r，故η，η+ξ1，η+ξ2…，η+ξn－r，均是Ax=b的解向量． 设有数k0，k1，k2，…，kn－r，使得k0η+k1（η+ξ1）+ k2（η+ξ2）+…+ kn－r (η+ξn－r)=0， 整理得(k0+ k1+…+ kn－r)η+ k1ξ1+…+ kn－rξn－r=0，(*) (*)式左乘A，得(k0+ k1+…+ kn－r)b=0，其中b≠0，得k0+ k1+…+ kn－r=0(* *)， 代入(*)，因ξ1，ξ2，…，ξn－r是对应齐次方程组的基础解系，线性无关，得 ki=0，i=1，2，…n－r． 代入(* *)，得k0=0，从而有η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn－r 是Ax=b的n－r+1个线性无关解
解析
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考研数学三

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