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设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
admin
2022-09-22
31
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
-x
2
2
+ax
3
2
+2x
1
x
2
-8x
1
x
3
+2x
2
x
3
在正交变换x=Qy下的标准形为λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
，求a的值及一个正交矩阵Q．
选项
答案
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax，其中A=[*]． 由于二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)经正交变换后，得到的标准形为λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
，可知r(A)=2． 因此可得｜A｜=0，即[*]=6-3a=0． 解得a=2． 当a=2时，二次型矩阵A为实对称矩阵，且其特征多项式为 ｜λE-A｜=[*]=λ(λ+3)(λ-6)， 解得特征值为λ
1，2，3
=-3，0，6． 由(-3E-A)x=0，可得A的属于特征值-3的特征向量为α
1
=(1，-1，1)
T
； 由(0E-A)x=0，可得A的属于特征值0的特征向量为α
2
=(1，2，1)
T
； 由(6E-A)x=0，可得A的属于特征值6的特征向量为α
3
=(-1，0，1)
T
． 由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的，则将α
1
，α
2
，α
3
单位化可得β
1
=[*](1，-1，1)
T
，β
2
=[*](1，2，1)
T
，β
3
=[*](-1，0，1)
T
． 因此所求正交矩阵Q=(β
1
，β
2
，β
3
)=[*]．
解析
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考研数学二
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