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  3. 设f(x)在[－a，a]上具有三阶连续导数，且满足f’(x)=x2+∫0xtf(x－t)dt，f(x)=0，证明：存在一点ξ∈[－a，a]，使得a4｜f’’’(ξ)｜=12∫－aa｜f(x)｜dx．

设f(x)在[－a，a]上具有三阶连续导数，且满足f’(x)=x2+∫0xtf(x－t)dt，f(x)=0，证明：存在一点ξ∈[－a，a]，使得a4｜f’’’(ξ)｜=12∫－aa｜f(x)｜dx．

admin2017-05-31  39
问题 设f(x)在[－a，a]上具有三阶连续导数，且满足f’(x)=x2+∫0xtf(x－t)dt，f(x)=0，证明：存在一点ξ∈[－a，a]，使得a4｜f’’’(ξ)｜=12∫－aa｜f(x)｜dx．
选项
答案由f’(x)=x2+∫0xtf(x一t)dt[*]x2+x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du知f’(0)=0，f’’(x)=2x+∫0xf(u)du，f’’(0)=0 根据台劳公式，有[*]其中η介于0与x之间，x∈[一a，a]．于是，[*]这里m，M为｜f’’’(x)｜在[一a，a]上的最小值、最大值．故存在点e∈[—a,a]，使得[*]
解析 只要证由于｜f’’’(x)｜在[一a，a]上连续，可对f’’’(x)在[一a，a]上用介值定理．为证明
介于｜f’’’(x)｜在[一a，a]上的最小值和最大值之间．对f(x)用麦克劳林公式．
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