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  3. 设随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= 求： U=max{X，Y}和V=min{X，Y}的概率密度。

设随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= 求： U=max{X，Y}和V=min{X，Y}的概率密度。

admin2019-03-25  27
问题 设随机变量(X，Y)的联合概率密度为
f(x，y)=
求：
U=max{X，Y}和V=min{X，Y}的概率密度。
选项
答案先求U=max{X，Y}的分布函数，于是 FU(u)=P{U≤u}=P{max{X，Y}≤u}=P{X≤u，Y≤u}。 当u＜0时，FU(u)=0。 当u≥0时，FU(u)=P{X≤u，Y≤u}=∫0udx∫xuxe-ydy=∫0ux(e-x一e-u)dx =∫0uxe-xdx一e-u∫0uxdx=(一ue-u一e-u+1)一[*]e-u =1一([*]+u+1)e-u。 综上 Fu(u)=[*] 将分布函数FU(u)对u求导，则U=max{X，Y}的概率密度为 fU(U)=[*] V=min{X，Y}的分布函数为 FV(v)=P{V≤v}=1一P{V＞v}=1一P{min{X，Y}＞v}=1一P{X＞v，Y＞v}。 当v＜0时，FV(v)=0。 当v≥0时，FV(v)=1一P{X＞v，Y＞v}=1一∫v+∞dy∫vyxe-ydx =1一[*]∫v+∞(y22-ydy=1－(v+1)e-v。 综上 FV(v)=[*] 将分布函数FV(v)对v求导，则V=min{X，Y}的概率密度为 fV(V)=[*]
解析
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考研数学一

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