2. 考研
  3. 设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行与第j行得到的矩阵记为B，则下列五个关系： (1)｜A｜＝｜B｜； (2)r(A)＝r(B)； (3)AB； (4)A～B； (5)AB 中正确的有( )。

设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行与第j行得到的矩阵记为B，则下列五个关系： (1)｜A｜＝｜B｜； (2)r(A)＝r(B)； (3)AB； (4)A～B； (5)AB 中正确的有( )。

admin2020-04-22  21
问题 设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第i行与第j行得到的矩阵记为B，则下列五个关系：
    (1)｜A｜＝｜B｜；  (2)r(A)＝r(B)；  (3)AB；  (4)A～B；  (5)AB
中正确的有(  )。
选项 A、(1)，(2)
B、(1)，(2)，(3)
C、(1)，(3)，(5)
D、(1)，(2)，(3)，(4)，(5)
答案D
解析 解  由题设有EijAEij＝B，Eij有些什么性质呢?
(1)｜Eij｜＝－1，因而｜Eij｜｜Eij｜＝1，故
    ｜Eij｜｜A｜｜Eij｜＝｜B｜，  即    ｜A｜＝｜B｜。
(2)因｜Eij｜≠0，故Eij可逆，所以r(EijA)＝r(A)，r(AEij)＝r(A)，故
    r(B)＝r(EijAEij)＝r(AEij)＝r(A)。
(3)由EijAEij＝B说明了AB。
(4)因Eij－1＝Eij，故EijAEij＝Eij－1AEij＝B，所以A～B。
(5)因Eij＝EijT，故EijAEij＝EijTAEij＝B，所以AB。
因此，选项(D)正确。
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