已知A＝，其中ai≠aj，i，j＝1，2，…，s．试讨论矩阵ATA的正定性．

admin2018-06-12 24

问题已知A＝

，其中a_i≠a_j，i，j＝1，2，…，s．试讨论矩阵A^TA的正定性．

选项

答案由(A^TA)^T＝A^T(A^T)^T＝A^TA，知A^TA是对称矩阵． (Ⅰ)如果s＞n，则齐次方程组Aχ＝0有非零解，设为χ₀，那么χ₀^T(A^TA)χ₀＝χ₀^TA^TAχ₀＝0， χ₀≠0．所以矩阵A^TA不正定． (Ⅱ)如果s＝n，因为a_i≠a_j，｜A｜＝П(a_i－a_j)≠0，A是可逆矩阵，那么 B＝A^TA＝A^TEA．即B与E合同．故矩阵B正定． (Ⅲ)如果s＜n，则因[*]可逆，知[*]线性无关，那么延伸后A的列向量仍线性无关．从而，对任意χ≠0，恒有Aχ≠0，于是 χ^T(A^TA)χ＝(Aχ)^T(Aχ)＝‖Aχ‖²＞0．即矩阵A^TA正定．

解析

转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/Bx2RFFFM

考研数学一

相关试题推荐

设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列运算正确的是()
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若AB＝E，则()
设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)χ＝0()
设α，β为3维列向量，矩阵A＝ααT＋ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置．证明：r(A)≤2．
设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P＝其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．(1)计算并化简PQ；(2)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．
已知A＝，求可逆矩阵P，使P-1AP＝A．
已知A＝，矩阵X满足A*X＝A-1＋2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X＝_______．
设n阶矩阵A与B等价，则必有()

随机试题

女阴营养不良时，女阴部位皮肤黏膜病变复杂，常因为皮肤色素产生异常而与临床上其他病变或疾病存在相似之处，常需加以鉴别。与遗传密切相关的皮肤黏膜色素异常是：
以下除哪项外均是肾移植术后排斥反应的超声检查指征
哮喘的主要病机是
病人口淡乏味，常提示的是
地下出入口通道的长度不宜超过()m。
新股网上定价发行与网上竞价发行的不同之处表现在()。
香蕉水作为油性涂料、油漆等建筑材料的溶剂和稀释剂，常用于家庭和办公室装修，下列关于香蕉水的说法正确的是：
急性根尖周炎按其发展进程可分为()。
在外部设备中，扫描仪属于
IwishyoubreakaleginthecomingEnglishspeechcontestTheunderlinedpartmeans______.

最新回复(0)

已知A＝，其中ai≠aj，i，j＝1，2，…，s．试讨论矩阵ATA的正定性．

考研数学一

设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列运算正确的是()

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若AB＝E，则()

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)χ＝0()

设α，β为3维列向量，矩阵A＝ααT＋ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置．证明：r(A)≤2．

设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P＝其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．(1)计算并化简PQ；(2)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

已知A＝，求可逆矩阵P，使P-1AP＝A．

已知A＝，矩阵X满足A*X＝A-1＋2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X＝_______．

设n阶矩阵A与B等价，则必有()

女阴营养不良时，女阴部位皮肤黏膜病变复杂，常因为皮肤色素产生异常而与临床上其他病变或疾病存在相似之处，常需加以鉴别。与遗传密切相关的皮肤黏膜色素异常是：

以下除哪项外均是肾移植术后排斥反应的超声检查指征

哮喘的主要病机是

病人口淡乏味，常提示的是

地下出入口通道的长度不宜超过()m。

新股网上定价发行与网上竞价发行的不同之处表现在()。

香蕉水作为油性涂料、油漆等建筑材料的溶剂和稀释剂，常用于家庭和办公室装修，下列关于香蕉水的说法正确的是：

急性根尖周炎按其发展进程可分为()。

在外部设备中，扫描仪属于

IwishyoubreakaleginthecomingEnglishspeechcontestTheunderlinedpartmeans______.

已知A＝，矩阵X满足AX＝A-1＋2X，其中A是A的伴随矩阵，则X＝_______．