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  3. 设f(x)在[0，π]上连续，且，证明f(x)在(0，π)内至少有两个零点。

设f(x)在[0，π]上连续，且，证明f(x)在(0，π)内至少有两个零点。

admin2019-01-15  84
问题 设f(x)在[0，π]上连续，且，证明f(x)在(0，π)内至少有两个零点。
选项
答案令[*]，由罗尔定理，存在θ0∈(0，π)，使得F’(θ0)=0，而F’(x)=f(x)sinx，且sinθ0≠0，所以f(θ0)=0。 假设f(x)在(0，π)内除θ0外没有零点，则f(x)在(0，θ0)与(θ0，π)内异号。 不妨设当x∈(0，θ0)时，f(x)＜0；当x∈(θ0，π)时，f(x)＞0，则 [*] 因为当x∈[0，θ0]时，f(x)sin(x-θ0)连续，f(x)sin(x-θ0)≥0且f(x)sin(x-θ0)不恒等于零，所以[*]；同理[*]，所以[*]。 而[*] 与假设矛盾，故f(x)在(0，π)内至少有两个零点。
解析
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考研数学三

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