已知齐次线性方程组有非零解，且是正定矩阵．求xTx=1，xTAx的最大值和最小值．

admin2020-04-30 14

问题已知齐次线性方程组

有非零解，且

是正定矩阵．
求x^Tx=1，x^TAx的最大值和最小值．

选项

答案当a=3时，由 [*] 得A的特征值为1，4，10．由于a=3时，A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，经正交变换x=Py化二次型x^TAx为标准形，从而 1=y²₁+y²₂+y²₃≤x^TAx=y²₁+4y²₂+10y²₃≤10(y²₁+y²₂+y²₃)=10，故x^TAx的最大值为10，最小值为1．

解析

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