2. 考研
  3. 已知f(x)，g(x)是[a，b]上的连续函数，且g(a)=g(b)=0，∫abf(x)g(x)dx=0，证明：在区间[a，b]上f(x)≡0．

已知f(x)，g(x)是[a，b]上的连续函数，且g(a)=g(b)=0，∫abf(x)g(x)dx=0，证明：在区间[a，b]上f(x)≡0．

admin2022-06-04  1
问题 已知f(x)，g(x)是[a，b]上的连续函数，且g(a)=g(b)=0，∫abf(x)g(x)dx=0，证明：在区间[a，b]上f(x)≡0．
选项
答案用反证法．设f(x)在区间[a，b]上不恒等于零，则存在一点x0∈[a，b]，使得f(x0)≠0．不妨设f(x0)＞0，若x0∈(a，b)，由于f(x)连续，存在x0的邻域(ξ1，ξ2)[*](a，b)使得x∈(ξ1，ξ2)有f(x)＞0．对于任意连续函数g(x)在邻域(ξ1，ξ2)内为正，在此邻域之外恒为零．可以构造函数 [*] 显然g(x)在[a，b]上是连续的正函数，且g(A)=g(B)=0，所以 ∫abf(x)g(x)dx=[*]f(x)(x-ξ1)2(ξ2-x)2dx＞0 这与假设矛盾，所以在区间[a，b]上f(x)≡0．
解析
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考研数学二

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