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  3. 设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组A：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组B：α1，α2，…，αm-1，β，则( )．

设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组A：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组B：α1，α2，…，αm-1，β，则( )．

admin2020-06-05  19
问题 设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组A：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组B：α1，α2，…，αm-1，β，则(    )．
选项 A、αm不能由向量组A线性表示，也不能由向量组B线性表示
B、αm不能由向量组A线性表示，但可由向量组B线性表示
C、αm可由向量组A线性表示，也可由向量组B线性表示
D、αm可由向量组A线性表示，但不可由向量组B线性表示
答案B
解析 由题设可知，存在常数k1，k2，…，km，使得
β＝k1α1＋k2α2＋…＋kmαm
且km≠0．否则，若km＝0，上式表明β可由向量组A线性表示，这与已知条件矛盾．于是上式两边同时除以km解出αm，得
αm＝
这表明向量αm可由向量组B线性表示，因此排除(A)，(D)．
对于选项(C)，若αm可由向量组A线性表示，即有
αm＝λ1α1＋λ2α2＋…＋λm-1αm-1
将此式带入β＝k1α1＋k2α2＋…＋kmαm可知，β也可由向量组A线性表示，而这与已知条件矛盾．因此αm不能由A线性表示，(C)被排除，故(B)入选．
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