2. 考研
  3. 设A,B是3阶矩阵，α和β是3维非零列向量，已知A～B，且∣B∣=0，Aα=β,Aβ=α,则∣A+4B+2AB+2E∣=________.

设A,B是3阶矩阵，α和β是3维非零列向量，已知A～B，且∣B∣=0，Aα=β,Aβ=α,则∣A+4B+2AB+2E∣=________.

admin2022-03-14  28
问题 设A,B是3阶矩阵，α和β是3维非零列向量，已知A～B，且∣B∣=0，Aα=β,Aβ=α,则∣A+4B+2AB+2E∣=________.
选项
答案－18
解析 已知Aα=β,Aβ=α,则有
A(α+β)=α+β,A(α－β)=－(α－β)
故A有特征值λ1=1，λ2=－1，由｜B｜=0,故B有特征值λ3=0
因A～B，则A,B具有相同的特征值1，,1,0,即A～B～
因｜A+4B+2AB+2E｜=｜A(E+2B)+2(E+2B)｜=｜(A+2E)(E+2B)｜
=｜A+2E｜E+2B｜
又A+2E有特征值3,1,2，则｜A+2E｜=6
E+2B有特征值3，－1,1，则｜E+2B｜=－3
故∣A+4B+2AB+2E∣=6×（－3）=－18
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考研数学三

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