已知三阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵(k为常数),且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解。

admin2017-12-29  44

问题 已知三阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵(k为常数),且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解。

选项

答案由AB=O知,B的每一列均是Ax=0的解,且r(A)+r(B)≤3。 (1)若k≠9,则r(B)=2,于是r(A)≤1,显然,r(A)≥1,故r(A)=1。可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3一r(A)=2,矩阵B的第一列、第三列线性无关,可作为其基础解系,故Ax=0的通解为:x=k1(1,2,3)T+k2(3,6,k)T,k1,k2为任意常数。 (2)若k=9,则r(B)=1,从而1≤r(A)≤2。 ①若r(A)=2,则Ax=0的通解为:x=k1(1,2,3)T,k1为任意常数。 ②若r(A)=1,则Ax=0的同解方程组为:ax1+bx2+cx3=0,不妨设a≠0,则其通解为x=k1。([*],1,0)T+k2([*],0,1)T,k1,k2为任意常数。

解析
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