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  3. (2003年试题，二)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题： ①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)

(2003年试题，二)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题： ①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)

admin2021-01-15  37
问题 (2003年试题，二)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：
①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)；
②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；
③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；
④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解．
以上命题中正确的是(    )．
选项 A、①②
B、①③
C、②④
D、③④
答案B
解析 分析①一④，不难排除掉②，④，因为从系数矩阵的秩的大小关系，得不出它们的解的关系，而①，③的成立是因线性齐次方程组的解空间的维数与系数矩阵的秩的关系而得以保证的．设Ax=0的一个基础解系为α1，α2……αr，而Bx=0的一个基础解系为β1β2……βs，则r=n—rA，s=n一rB，若Ax=0的解全是Ax=0的解，则α1，…，αr可由β1β2……βS线性表示，即r≤s，从而rB≤rA，①成立；若Ax=0与Bx=0同解，则r=s，因而有rA=rB，综上，选B．
齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件是A，B的行向量组等价．
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