2. 考研
  3. 设y(x)是区间(0，3／2)内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线L：y=y(x)上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0，YP)，法线与X轴相交于点(XP，0)．若XP=YP，求L上点的坐标(x，y)满足的方程．

设y(x)是区间(0，3／2)内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线L：y=y(x)上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0，YP)，法线与X轴相交于点(XP，0)．若XP=YP，求L上点的坐标(x，y)满足的方程．

admin2022-09-22  44
问题 设y(x)是区间(0，3／2)内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线L：y=y(x)上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0，YP)，法线与X轴相交于点(XP，0)．若XP=YP，求L上点的坐标(x，y)满足的方程．
选项
答案点P(x，y)处的切线方程为Y-y=y’(X-x)．令X=0，得YP=y-y’x． 点P(x，y)处的法线方程为Y-y=-[*](X-x)．令Y=0，得XP=x+yy’． 由于XP=YP，可得y-xy’=x+yy’，即[*] 令y／x=u，则y=ux，[*]可转变为 (u+1)(u+x[*])=u-1． 上述方程为可分离变量的微分方程，分离变量可得[*] 两边分别积分得arctan u+[*]ln(1+u2)=-ln｜x｜+C，即arctan[*]ln(x2+y2)=C． 又y(1)=0，可得C=0．因此直线L上点的坐标(x，y)在区间(0，3／2)上满足的方程为 2arctan[*]+ln(x2+y2)=0．
解析
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考研数学二

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