(05年)设f(χ),g(χ)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f′(χ)≥0,g′(χ)≥0.证明:对任何a∈[0,1],有 ∫0ag(χ)f′(χ)dχ+∫01f(χ)g′(χ)dχ≥f(a)g(1).

admin2017-05-26  31

问题 (05年)设f(χ),g(χ)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f′(χ)≥0,g′(χ)≥0.证明:对任何a∈[0,1],有
    ∫0ag(χ)f′(χ)dχ+∫01f(χ)g′(χ)dχ≥f(a)g(1).

选项

答案设F(χ)=∫0χg(t)f′(t)dt+∫01f(t)g′(t)dt-f(χ)g(1),χ∈[0,1] 则F(χ)在[0,1]上的导数连续,并且 F′(χ)=g(χ)f′(χ)-f′(χ)g(1)=f′(χ)[g(χ)-g(1)] 由于χ∈[0,1]时,f′(χ)≥0,g′(0)≥0,因此F′(χ)≤0,即F(χ)在[0,1]上单调递减. 注意到 F(1)=∫01g(t)f′(t)dt+∫01f(t)g′(t)dt=f(1)g(1) 而 ∫01g(t)f′(t)dt=∫01g(t)dt(t) =g(t)f(t)|01-∫01f(t)g′(t)dt =f(1)g(1)=∫01f(t)g′(t)dt 故F(1)=0. 因此χ∈[0,1]时,F(χ)≥0,由此可得对任何a∈[0,1]有 ∫g(χ)f′(χ)dχ+∫f(χ)g′(χ)出≥f(a)g(1)

解析
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