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  3. 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 (I)求X与Y的相关系数； (Ⅱ)令Z=XY，求Z的数学期望与方差．

设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 (I)求X与Y的相关系数； (Ⅱ)令Z=XY，求Z的数学期望与方差．

admin2018-11-20  25
问题 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为

(I)求X与Y的相关系数；
(Ⅱ)令Z=XY，求Z的数学期望与方差．
选项
答案首先计算X，Y的边缘概率密度 fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy=[*] fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=[*] (I)计算得知，对任何x，y，都有f(x，y)=fX(x)fY(y)，因此X与Y独立，从而其相关系数ρXY=0． (Ⅱ)根据X，Y的边缘概率密度可以求出它们的数字特征： EX=∫0+∞xe-xdx=1；EX2=∫0+∞x2e-xdx=2； EY=∫0+∞y2e-ydy=2；EY2=∫0+∞y3e-ydy=6． 由(I)知X与Y独立，因此X2与Y2也独立．于是 EZ=E(XY)=EXEY=2， EZ2=E(XY)2=E(X2Y2)=EX2EY2=2×6=12，故 DZ=EZ2一(EZ)2=8．
解析
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考研数学三

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