设A是n阶证定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．正交矩阼Q，使QTAQ为对角矩阵．

admin2014-03-11 39

问题设A是n阶证定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．
正交矩阼Q，使Q^TAQ为对角矩阵．

选项

答案由于 [*] 故矩阵A的特征值为：λ₁=3，λ₂=0，λ₃=-3．当λ₁=3时，由[*] 得到属于特征值λ=3的特征向量α₁=(1，0，-1)^T．当λ₂=0时，由(0E-A)x=0，[*] 得到属于特征值A=0的特征向最α₂=(1，1，1)^T．当λ₃=-3时，由(-3E-A)x=0，[*] 得到属于特征值λ=-3的特征向量α₃=(1，-2，1)^T．实对称矩阵的特征值不同时，其特征向量已经正交，故只需单位化． β₁=[*] β₂=[*] β₃=[*] 那么令Q=(β₁，β₂，β₃)=[*] ，得Q^TAQ=Q^-1AQ=A=[*]

解析方程组有解且不唯一，即方程组有无穷多解，故可由r(A)=r(A)<3来求a的值．而Q^TAQ=A即Q^-1AQ=A，为此应当求出A的特征值与特征向量再构造正交矩阵Q．

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考研数学三

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