[2010年] 设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解.若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,则( ).

admin2019-03-30  85

问题 [2010年]  设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解.若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,则(    ).

选项 A、λ=1/2,μ1=1/2
B、λ=一1/2,μ=一1/2
C、λ=2/3,μ=1/3
D、λ=2/3,μ=2/3

答案A

解析 解一  因λy1-μy2是y’+p(x)y=0的解,故
                 (λy1-μy2)’+p(x)(λy1-μy2)=λ(y1’+p(x)y1)-μ(y2’+p(x)y2)=0.
又          y1’+p(x)y1=q(x),  y2’+p(x)y2=q(x),
故        λq(x)-μq(x)=(λ-μ)q(x)=0.
而q(x)≠0,故λ-μ=0,即λ=μ.
    又λy1+μy2为y’+p(x)y=q(x)的解,故
              (λy1+μy2)’+p(x)(λy1+μy2)=λ[y1’+p(x)y1]+μ[y2’+p(x)y2]=λq(x)+μq(x)=(λ+μ)q(x)=q(x).
因q(x)≠0,故λ+μ=1.由λ=μ得到λ=μ=1/2.仅(A)入选.
    解二  y1与y2为方程y’+p(x)y=q(x)的解,又已知λy1+μy2也是该方程的解,则由命题1.6.1.1(1)知,λ+μ=1.又由λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,由命题1.6.1.1(2)知,λ+(-μ)=λ-μ=0,即λ=μ.联立λ=μ,λ+μ=1解得λ=μ=1/2.仅(A)入选.
    (注:命题1.6.1.1  (1)若y1,y2,…,ys均为y’+p(x)y=q(x)的解,则当k1+k2+…+ks=1时,k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=q(x)的解.
    (2)若y1,y2,…,ys均为y’+p(x)y=q(x)的解,则当k1+k2+…+ks=0时,k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=0的解.
    特别地,若y1,y2为y’+p(x)y=q(x)的两个解,则y2-y1为y’+p(x)y=0的解.)
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