设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=fˊ(0)=fˊ(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜fˊˊ(ξ)｜≥4．

admin2016-09-13 40

问题设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=fˊ(0)=fˊ(1)=0，f(1)=1．
求证：存在ξ∈(0，1)，使｜fˊˊ(ξ)｜≥4．

选项

答案把函数f(x)在x=0展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+fˊ(0)x+[*]fˊˊ(ξ₁)x² (0＜ξ₁＜x)．在公式中取x=[*]，利用题设可得[*] 把函数f(x)在x=1展开成泰勒公式，得 f(x)=f(1)+fˊ(1)(x－1)+[*]fˊˊ(ξ₂)(x－1)² (x＜ξ₂＜1)．在公式中取x=[*]，利用题设可得[*] 两式相减消去未知的函数值f([*])即得 fˊˊ(ξ₁)－fˊˊ(ξ₂)=8=>｜fˊˊ(ξ₁)｜+｜fˊˊ(ξ₂)｜≥8．从而，在ξ₁和ξ₂中至少有一个点，使得在该点的二阶导数绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)，使｜fˊˊ(ξ)｜≥4．

解析

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考研数学三

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设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=fˊ(0)=fˊ(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜fˊˊ(ξ)｜≥4．

考研数学三

[*]

已知向量组α1=(t，2，1)，α2=(2，t，0)，α3=(1，-1，1)，试讨论：(1)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关?(2)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关?

袋中有a只黑球，b只白球，现把球一只一只摸出，求第k次摸出黑球的概率(1≤k≤a+b)．

设α1=(2，-1，0，5)，α2=(-4，-2，3，0)，α3=(-1，0，1，k)，α4=(-1，0，2，1)，则k=________时，α1，α2，α3，α4线性相关．

验证函数u＝e－kn2tsinnx满足热传导方程ut＝kuxx．

求由下列曲线所围成的闭区域D的面积：(1)D是由直线ax＋by＝r1，ax＋by＝r2，cx＋dy＝s1，cx＋dy＝s2所围成的平行四边形闭区域，其中r1＜r2，s1＜s2，ad－bc≠0；(2)D是由曲线xy＝4，xy3＝4，xy＝8，y3＝15所

对于函数f(x)，如果存在一点c，使得f(c)＝c，则称c为f(x)的不动点．(1)作出一个定义域与值域均为[0，1]的连续函数的图形，并找出它的不动点；(2)利用介值定理证明：定义域为[0，1]，值域包含于[0，1]的连续函数必定有不动点．

设f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)=ex/10，则当x充分大时有

假设从单位正方形区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}中随机地选取一点，以该点的两个坐标x与y作为直角三角形的两条直角边，求该直角三角形的面积大于的概率p．

设平面区域D是由坐标为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)的四个点围成的正方形，今向D内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在曲线y=x2与直线y=x所围成的区域D1内的概率．

我国宪法的修改由全国人大()。

系统地提出国际劳动立法主张的是()

Opinionsaboutsciencesubjects______duringearlyadolescencewhenwomen(andmen)begintoconformtosocialnorms.

根据《中华人民共和国公务员法》的规定，公务员在下列()情况下应予以辞退。

某上市公司2015年年底流通在外的普通股股数为5000万股，2016年5月7日派发普通股股利1000万股，2016年7月1日经批准增发普通股250万股，2016年净利润1600万元，其中应付优先股股利200万元，则2016年的基本每股收益为()元。

古希腊某哲学家认为：“一个人应该以他最有利的方式对待法律，众目睽睽之下，他应该非常尊重法律，但无人在场情况下，可以随本性行事……”与这一观点最相似的是()。

行政法的基本原则是：

A、Theywereseverelypunished.B、Theyweretreatedwell.C、Theyweresoldtoanotherwhiteman.D、Theyweregivendifferentwork

设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=fˊ(0)=fˊ(1)=0，f(1)=1． 求证：存在ξ∈(0，1)，使｜fˊˊ(ξ)｜≥4．

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已知向量组α1=(t，2，1)，α2=(2，t，0)，α3=(1，-1，1)，试讨论：(1)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关?(2)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关?

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设α1=(2，-1，0，5)，α2=(-4，-2，3，0)，α3=(-1，0，1，k)，α4=(-1，0，2，1)，则k=________时，α1，α2，α3，α4线性相关．

验证函数u＝e－kn2tsinnx满足热传导方程ut＝kuxx．

求由下列曲线所围成的闭区域D的面积：(1)D是由直线ax＋by＝r1，ax＋by＝r2，cx＋dy＝s1，cx＋dy＝s2所围成的平行四边形闭区域，其中r1＜r2，s1＜s2，ad－bc≠0；(2)D是由曲线xy＝4，xy3＝4，xy＝8，y3＝15所

对于函数f(x)，如果存在一点c，使得f(c)＝c，则称c为f(x)的不动点．(1)作出一个定义域与值域均为[0，1]的连续函数的图形，并找出它的不动点；(2)利用介值定理证明：定义域为[0，1]，值域包含于[0，1]的连续函数必定有不动点．

设f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)=ex/10，则当x充分大时有

假设从单位正方形区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}中随机地选取一点，以该点的两个坐标x与y作为直角三角形的两条直角边，求该直角三角形的面积大于的概率p．

设平面区域D是由坐标为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)的四个点围成的正方形，今向D内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在曲线y=x2与直线y=x所围成的区域D1内的概率．

我国宪法的修改由全国人大()。

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根据《中华人民共和国公务员法》的规定，公务员在下列()情况下应予以辞退。

某上市公司2015年年底流通在外的普通股股数为5000万股，2016年5月7日派发普通股股利1000万股，2016年7月1日经批准增发普通股250万股，2016年净利润1600万元，其中应付优先股股利200万元，则2016年的基本每股收益为()元。

古希腊某哲学家认为：“一个人应该以他最有利的方式对待法律，众目睽睽之下，他应该非常尊重法律，但无人在场情况下，可以随本性行事……”与这一观点最相似的是()。

行政法的基本原则是：

A、Theywereseverelypunished.B、Theyweretreatedwell.C、Theyweresoldtoanotherwhiteman.D、Theyweregivendifferentwork

设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=fˊ(0)=fˊ(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜fˊˊ(ξ)｜≥4．