线性方程组Ax＝b的系数矩阵是4×5矩阵，且A的行向量组线性无关，则错误命题的是( )．

admin2020-06-05 27

问题线性方程组Ax＝b的系数矩阵是4×5矩阵，且A的行向量组线性无关，则错误命题的是( )．

选项 A、齐次方程组A^Tx＝0只有零解
B、齐次方程组A^TAx＝0必有非零解
C、对任意b，方程组Ax＝b必有无穷多解
D、对任意b，方程组A^Tx＝b必有唯一解

答案D

解析根据“三秩定理”及A的行向量组线性无关，得R(A)＝4．
A^T是5×4矩阵，而R(A^T)＝R(A)＝4，所以齐次线性方程组A^Tx＝0只有零解，故(A)正确．
A^TA是5阶矩阵，由于R(A^TA)≤R(A)＝4﹤5，所以齐次方程组A^TAx＝0必有非零解，
故(B)正确．
A是4×5阶矩阵，A的行向量组线性无关，那么添加分量后的向量组亦线性无关，所以
R(A)＝

＝4﹤5，故Ax＝b必有无穷多解，(C)正确．
由于A^T列向量只是4个线性无关的5维向量，它们不能表示任一个5维向量，故方程组A^Tx＝b有可能无解，故(D)不正确．

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考研数学一

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