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  3. 设A为m×n矩阵，且r(A)==r＜n，其中． 证明方程组AX=b有且仅有n一r+1个线性无关解；

设A为m×n矩阵，且r(A)==r＜n，其中． 证明方程组AX=b有且仅有n一r+1个线性无关解；

admin2014-12-17  34
问题 设A为m×n矩阵，且r(A)==r＜n，其中．
证明方程组AX=b有且仅有n一r+1个线性无关解；
选项
答案令ξ1，ξ2，…，ξn-r为AX=0的基础解系，η0为AX=b的特解，显然β0=η0，β1=ξ1+η0…，βn-r+η0为AX=b的一组解，令k0β0+k1β1+…+kn-rβn-r=0．即 k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+(k0+k1+…+kn-r)η0=0．　上式左乘A得(k0+k1+…+kn-r)b=0，因为b≠0时，k0+k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0．因为ξ1，ξ2，…，ξn-r为AX=0的基础解系，所以k1=k2=…=kn-r=0，于是k0=0，故β0，β1，…，βn-r线性无关． 若γ0，γ1，…，γn-r+1为AX=b的线性无关解，则ξ1=γ1一γ0，…，ξn-r+1=γn-r+1-γ0为AX=0的解，令k1ξ1+k2ξ2+…+kn-r+1ξn-r+1=0，则 k1γ1+k2γ2+…+kn-r+1γn-r+1-(k1+k2+…+kn-r+1)γ0=0． 因为γ0，γ1，…，γn-r+1线性无关，所以k1=k2=…=kn-r+1=0，即ξ1，ξ2，…，ξn-r+1为AX=0的线性无关解，矛盾，故方程组AX=b恰有n一r+1个线性无关解．
解析
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考研数学三

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