设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…)。 证明xn存在,并求该极限;

admin2019-08-01  39

问题 设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…)。
证明xn存在,并求该极限;

选项

答案先证明0<xn<π,n=1,2,3,…:当n=1时,结论显然成立; 假设当n=k时,结论成立,也即0<xk<π,此时有xk+1=sinxk>0,同时也有sinxk≤1<π, 因此,0<xk+1<π。由数学归纳法可知,0<xn<π,n=1,2,3,…。 再证明xn>xn+1,由于xn>0,可知xn+1=sinxn<xn,从而{xn}是单调递减的。 由单调有界收敛定理可知,极限[*]xn存在。令[*]xn=a,在等式xn+1=sinxn两端同时令n→∞可得a=sina,解得a=0,也即[*]xn=0。

解析
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