已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

admin2018-12-29 32

问题已知三元二次型f=x^TAx的秩为2，且

求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

选项

答案二次型x^TAx的秩为2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值。 [*] 所以3是A的特征值，(1，2，1)^T是与3对应的特征向量；—1也是A的特征值，(1，—1，1)^T是与—1对应的特征向量。因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是(x₁，x₂，x₃)^T，则有 (x₁，x₂，x₃)[*]=0，(x₁，x₂，x₃)[*]=0，由方程组[*]解出λ=0的特征向量是(1，0，—1)^T。 [*] 因此 x^TAx=[*](x₁²+10x₂²+x₃²+16x₁x₂+2x₁x₃+16x₂x₂)，令 [*] 则经正交变换x=Qy，有x^TAx=y^TΛy=3y₁²—y₃²。

解析

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考研数学一

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已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

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假设某射手的命中率为P(0＜P＜1)，他一次一次地对同一目标独立地射击直到恰好两次命中目标为止，以X表示首次命中已射击的次数，以Y表示射击的总次数，试求：随机变量X关于Y的条件概率分布．

设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是()．

设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0，1，1，是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2．求方程组Ax=α2的通解；

设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．

设A是三阶实对称矩阵，特征值是1，0，－2，矩阵A的属于特征值1与－2的特征向量分别是(1，2，1)T与(1，－1，a)T，求Ax=0的通解．

设有两个n元齐次线性方程组Ax=0及Bx=0，证明：若Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(B)．

已知二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋x22＋cx32＋2ax1x2＋2x1x3经正交变换化为标准形y12＋2y32则a＝______．

设y1(x)，y2(x)为二阶变系数齐次线性方程y’’＋p(x)y’＋q(x)y＝0的两个特解，则C1y1(x)＋C2y2(x)(C1，C2为任意常数)是该方程通解的充分条件为

随机向区域D：内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与x轴的夹角小于的概率为____________．

若则为()

Allthepreparationsforthetask________,andwe’rereadytostart.

Word．文档的密码最多可包含________个字符。

一般认为用于过筛实验的分析方法希望有：()

蛋白质分子中α-螺旋结构属于蛋白质的

一些临时接受捐赠、礼品、国际援助的单位，在进出口货物时，海关也视其为进出口货物收发货人。

中国近现代画家中，以山水画著称于世；其作品有“黑、密、厚、重，然虚实有致，”特点的是()。

生产力决定教育的领导权及受教育权。()

Theboyslippedoutoftheroomandheadedfortheswimmingpoolwithouthisparents’_____.

Althoughtherigorsofballetdancingareprimarily(i),thisartisalsoemotionallyandspiritually(ii).

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