2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明： 存在η∈(a，b)，使得f’’(η)一3f’(η)+2f(η)=0

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明： 存在η∈(a，b)，使得f’’(η)一3f’(η)+2f(η)=0

admin2018-11-22  18
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：
存在η∈(a，b)，使得f’’(η)一3f’(η)+2f(η)=0
选项
答案令g(x)=e－xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0， 由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0， 而g’(x)=e－x[f’(x)一f(x)]且e－x≠0，所以f’(η1)一f(η1)=0，f’(η2)一f(η2)=0． 令φ(x)=e－2x[f’(x)一f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0， 由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)[*](a，b)，使得φ’(η)=0， 而φ’(x)=e－2x[f’’(x)一3f’(x)+2f(x)]且e－2x≠0， 所以f’’(η)－3f’(η)+2f(η)=0．
解析
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考研数学一

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