(05年)设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数． (I)证明：对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有 (Ⅱ)求函数φ(y)的表达式．

admin2017-04-20 44

问题 (05年)设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分

的值恒为同一常数．
(I)证明：对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有

(Ⅱ)求函数φ(y)的表达式．

选项

答案(I)如图，设C是半平面x＞0内的任一分段光滑简单闭曲线，在C上任意取定两点M，N，作围绕原点的闭曲线[*]同时得到另一围绕原点的闭曲线[*] 根据题设可知 [*] 根据第二类曲线积分的性质，利用上式可得 [*] 比较①、②两式的右端，得 [*] 由③得φ(y)=一y²+c，将φ(y)代入④得2y⁵一4cy³=2y⁵，所以c=0，从而φ(y)=一y²．

解析

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考研数学一

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(05年)设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数． (I)证明：对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有 (Ⅱ)求函数φ(y)的表达式．

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