若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=___________．

admin2013-03-19 53

问题若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C₁+C₂x)e^x，则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=___________．

选项

答案y=-xe^x+x+2．

解析由通解表达式该二阶线性常系数齐次方程的特征根为λ₁=λ₂=1，于是特征方程为
(λ-1)² =λ²-2λ+1=0
该齐次方程为y"-2y’+y=0 (即a=-2，b=1)．
又非齐次方程y"-2y’+y=x (*)
有特解y^* =ax+β，代人(*)式得
-2a+ax+β=x a=1，β=2．
因此(*)有通解y=(C₁+C₂x)e^x+x+2．
再由初条件y(0)=C₁+2=2，y’(0)=C₁+C₂+1=0，
C₁=0，C₂=-1．因此所求的解为y=-xe^x+x+2．

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