一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数K>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r0的雪堆在开始融化的3个小时内,融化了其体积的7/8,问雪堆全部融化需要多少小时?

admin2013-09-15  55

问题 一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数K>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r0的雪堆在开始融化的3个小时内,融化了其体积的7/8,问雪堆全部融化需要多少小时?

选项

答案本题是考查利用微分方程对问题建立数学模型,再求解微分方程,其中以时间t作为自变量来建立微分方程,但依未知函数的不同选择而有以下两种方法: (1)以半径r为未知函数,雪堆在时刻t的体积V=(2/3)πr3,侧面积S=2πr2,由题设知 [*] 化简上式即可得到以r为未知函数的微分方程,dr/dt=-k,解之得r=-kt+C,由初始条件r|t=0=r0,可得出C=r0,所以r=r0-kt又由已知[*] 从而[*] 雪堆全部融化时r=0,从而[*]得t=6,即全部融化需6小时. (2)以雪堆体积V为未知函数,在时刻t,[*],侧面积s=2πr2,即[*] 由题设,[*] 此即以V为未知函数的微分方程,分离变量得[*] 两边积分得[*] 由已知,当t=0时,[*] 代入上式分别得到[*] 联立此二式可解出[*] 令V=0,则t=6,即雪堆全部融化需6小时.

解析
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