设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且φˊ(x)=φ(x),φ(0)=0. (1)求方程yˊ+ysinx=φ(x)ecosx的通解; (2)方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件;若没有,请说明理由.

admin2016-09-13  39

问题 设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且φˊ(x)=φ(x),φ(0)=0.
(1)求方程yˊ+ysinx=φ(x)ecosx的通解;
(2)方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件;若没有,请说明理由.

选项

答案本题考查微分方程的求解与解的讨论,尤其是(2)关于解的讨论,是考生在考场上的难点,请复习备考的学生重视. (1)该方程为一阶线性微分方程,通解为 y=e-∫sinxdx[∫φ(x)ecosxesinxdxdx+C] =ecosx[∫φ(x)ecosx.e-cosxdx+C] =ecosx[∫φ(x)dx+C]=ecosx[Ф(x)+C](其中C为任意常数). (2)因为Фˊ(x)=φ(x),所以Ф(x)=∫0xφ(t)dt+C1.又Ф(0)=0,于是,Ф(x)=∫0xφ(t)dt.而Ф(x+2π)=∫0x+2πφ(t)dt=∫0xφ(t)dt+∫xx+2πφ(t)dt=Ф(x)+∫0φ(t)dt,所以,当∫0φ(t)dt=0时,Ф(x+2π)=Ф(x),即Ф(x)以2π为周期. 因此,当∫0φ(t)dt=0时,方程有以2π为周期的解.

解析
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