2. 考研
  3. 证明n阶实对称阵A是正交阵对任一n维列向量α，均有‖Aα‖=‖α‖．

证明n阶实对称阵A是正交阵对任一n维列向量α，均有‖Aα‖=‖α‖．

admin2020-09-25  59
问题 证明n阶实对称阵A是正交阵对任一n维列向量α，均有‖Aα‖=‖α‖．
选项
答案必要性[*]：‖Aα‖2=(Aα，Aα)=(Aα)TAα=αTATAα=αTα=‖α‖2，因此‖Aα‖=‖α‖． 充分性[*]：因为‖Aα‖=‖α‖对任一向量α都成立．我们取α=ei+ej，其中ei是第i个元素为1其他都是0的n维列向量． 则‖ei+ej‖2=‖A(ei+ej)‖2=(A(ei+ej))TA(ei+ej) =(Aei)TAei+(Aej)TAej+2(Aei)T(Aej) =‖Aei‖2+‖Aej‖2+2(Aei)T(Aej) =‖ei‖2+‖ej‖2+2(Aei)TAej， 又因为‖ei+ej‖2=‖ei‖2+‖ej‖2+2eiTej，因此(Aei)TAej=eiTej． 设A=(α1，α2，…，αn)，则αiTαj=(Aei)TAej=eiTej=[*] 因此A的列向量组成一组标准正交基，因此A为正交阵．
解析
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考研数学三

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