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  3. [2008年] 求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值．

[2008年] 求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值．

admin2019-04-05  56
问题 [2008年]  求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值．
选项
答案本题是一道条件极值的常规题，这里约束条件有两个，可构造双参数的拉 格朗日函数，也可构造单参数的拉格朗日函数求解． 解一 由约束条件z=x2+y2，x+y+z=4构造双参数的拉格朗日函数，即 F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2一z)+μ(x+y+z一4)． 于是[*] 由式①、式②解得x=y(但λ=一1，μ=0不是解)．由式④、式⑤得到 z=x2+y2=2x2， z=4—2x， 则2x2=4—2x，即x2+x一2=0，亦即(x+2)(x一1)=0，故x1=一2，x2=1，因而z1=8， z2=2． 将(x1，y1，z1)=(一2，一2，8)，(x 2，y 2，z 2)=(1，1，2)代入函数U中，得到u(x1，y1，z1)=72， u(x，y2，z2)=6，故所求的最大值为72，最小值为6． 解二 由约束条件z=x2+y2和x+y+z=4得到x2+y2=4一x—y，构造单参数的拉格朗日函数，即 F(x，y，λ)=x2+y2+(x2+y2)2+λ(x2+y2+x+y一4)， 于是 [*] 解得(x1，y1)=(一2，一2)，(x2，y2)=(1，1)，则z1=8，z2=2，所求最大值为72，最小值为6．
解析
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考研数学二

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