2. 考研
  3. (2007年)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，b(b)=g(b)，证明： (I)存在η∈(a，b)，使得f(η)=g(η)； (Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)。

(2007年)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，b(b)=g(b)，证明： (I)存在η∈(a，b)，使得f(η)=g(η)； (Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)。

admin2021-01-25  51
问题 (2007年)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，b(b)=g(b)，证明：
(I)存在η∈(a，b)，使得f(η)=g(η)；
(Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)。
选项
答案(I)设f(x)，g(x)在(a，b)内某点c(c∈(a，b))同时取得最大值，则f(c)=g(c)。此时的c就是所求点η，使得f(η)=g(η)。 若两个函数取得最大值的点不同，则有f(x)=maxf(x)，g(d)=maxg(x)，故有 f(x)一g(x)＞0，g(d)-f(d)＜0， 由介值定理，在(c，d)[*](a，b)内肯定存在一点η使f(η)一g(η)=0，即f(η)=g(η)。 (Ⅱ)设F(x)=f(x)-g(x)，由题设与(I)的结论知，F(x)在[a，b]上连续，(a，b)内二次可导，且存在η∈(a，b)，使F(a)=F(η)=F(b)=0，分别在[a，η]与[η，b]上对F(x)应用罗尔定理可得，存在α∈(a，η)，β∈(η，b)使F’(α)=F’(β)=0，所以F’(x)在[α，β]上满足罗尔定理的条件，因此根据罗尔定理知存在ξ∈(α，β)[*](a，b)，使F"(ξ)=0，即f"(ξ)=g"(ξ)。
解析
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考研数学三

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