设f(x)=1/(1-x-x2),记an=f(n)(0)/n!(n=0,1,2,…)。 (1)证明a0=a1=1,an+2=an+1+an,n=0,1,2,…; (2)求级数的和。

admin2021-04-16  47

问题 设f(x)=1/(1-x-x2),记an=f(n)(0)/n!(n=0,1,2,…)。
    (1)证明a0=a1=1,an+2=an+1+an,n=0,1,2,…;
    (2)求级数的和。

选项

答案(1)法一:a0=f(0)=1,a1=f’(0)=[(1+2x)/(1-x-x2)2]|x=0=1,当n≥2时,对(1-x-x2)f(x)=1两边求n阶导数,并由莱布尼茨高阶求导公式,有 Cn0f(n)(x)+Cn1(-1-2x)f(n-1)(x)-2Cn2f(n-2)(x)=0, 将x=0代入上式,整理得 f(n)(0)-nf(n-1)(0)-n(n-1)f(n-2)(0)=0,除以n!,于是 (1/n!)f(n)(0)-[1/(n-1)!]f(n-1)(0)-[1/(n-2)!]f(n-2)(0)=0,即an=an-1+an-2,n=2,3,4,… [*] 由待定系数法,有a0=a1=1,an=an-1+an-1,n=2,3,4,… (2)a3=a1+a0=2≥2,a3=a2+a1=3≥3,易知an≥n,n=0,1,2,…,故 [*] =1/a0+1/a1+1/an+1+1/an+2=2-1/an+1-1/an+2 [*]

解析
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