2. 考研
  3. 设f(μ，ν)具有连续偏导数，且满足fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=μν。求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

设f(μ，ν)具有连续偏导数，且满足fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=μν。求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

admin2018-01-30  39
问题 设f(μ，ν)具有连续偏导数，且满足fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=μν。求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。
选项
答案由y(x)=e－2xf(x，x)，两边对x求导有， y’=一2e－2xf(x，x)+e－2xf1’(x，x)+e－2xf2’(x，x) =一2e－2xf(x，x)+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)] =一2y+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]。 已知fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=μν，即f1’(μ，ν)+f2’(μ，ν)=μν，则f1’(x，x)+f2’(x，x)=x2。 因此，y(x)满足一阶微分方程y’+2y=x2e－2x。由一阶线性微分方程的通解公式得 y=e－∫2dx(∫x2e－2xe∫2dxdx+C)=e－2x(∫x2dx+C)=e－2x([*]+C)(C为任意常数)。
解析
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考研数学二

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