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(1989年)设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是
(1989年)设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是
admin
2021-01-15
12
问题
(1989年)设线性无关的函数y
1
，y
2
，y
3
都是二阶非齐次线性方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c
1
，c
2
是任意常数，则该非齐次方程的通解是
选项
A、c
1
y
1
+c
2
y
2
+y
3
B、c
1
y
1
+c
2
y
2
一(c
1
+c
2
)y
3
C、c
1
y
1
+c
2
y
2
一(1一c
1
—c
2
)y
3
D、c
1
y
1
+c
2
y
2
+(1一c
1
一c
2
)y
3
答案
D
解析
由于(D)中的y=C
1
y
1
+C
2
y
2
+(1一C
1
—C
2
)y
3
=C
1
(y
1
一y
3
)+C
2
(y
2
一y
3
)+y
3
其中y
1
一y
3
和y
2
一y
3
是对应的齐次方程的两个解，且y
1
一y
3
与y
2
—y
3
线性无关．事实上，若令
A(y
1
—y
3
)+B(y
2
一y
3
)=0
即 Ay
1
+By
2
一(A+B)y
3
=0
由于y
1
，y
2
，y
3
线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0
因此y
1
一y
3
与y
2
一y
3
线性无关，故
y=C
1
y
1
+C
2
y
2
+(1一C
1
—C
2
)y
3
是原方程通解．
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