设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f’(x)]2=x且f’(0)=0,则

admin2014-01-26  43

问题 设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f’(x)]2=x且f’(0)=0,则

选项 A、f(0)是f(x)的极大值.
B、f(0)是f(x)的极小值.
C、点(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点.
D、f(0)不是f(x)的极值,点(0,f(0))也不是曲线y一=f(x)的拐点.

答案C

解析 [分析]  由题设f’(0)=0,是否为极值点可通过f"(0)的符号来定,但易知f"(0)=0,因此可进一步通过f"(0)的符号确定是否为拐点.若还有f"(0)=0,则要通过更高阶导数的符号才能进行判断其为极值点或拐点.
    [详解]  因为f’(0)=0,由原关系式f"(x)+[f’(x)]2=x知,f"(0)=0,因此点(0,f(0))可能为拐点.由f"(x)=-[f(x)]2+x知f(x)的三阶导数存在,且
    f’’’(x)=-2f’(x)f"(x)+1,
    可见f’’’(0)=1.因此在x=0的左侧,f"(x)<0,对应曲线弧是下凹(上凸)的;而在x=0的右侧,f"(x)>0,对应曲线弧是上凹(下凸)的,故点(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点.
    [评注]  一般地,若f(x)在点x0处满足:f’(x0)=0,…,f(k-1)(x0)=0,fk(x0)≠0,
则当k(k>2)为偶数时,x0是函数.f(x)的极值点;当k为奇数时,点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点.
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